等和的分隔子集(DP)

problem

有1~N这N个数,蕊蕊希望将这N个数划分成两个子集合,且保证每个集合的数字和是相等的。比如N=3,对应的集合{1,2,3}能被划分成{3}和{1,2} 这两个子集合中元素分别的和是相等的。

对于N=3,我们只有一种划分方法,而对于N=7时,我们将有4种划分的方案。

输入格式

输入包括一行,仅一个整数,表示N(1≤N≤40)的值。

输出格式

输出包括一行,仅一个整数,蕊蕊可以划分对应 N 的集合的方案的个数。当没法划分时,输出 0。

样例输入

7

样例输出

4


思路

经典的每一项选择与不选择问题 这里虽然N不大,到40,但是如果用DFS会爆:(大概到27)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
int goal;
int ans;

void dfs(int a,int num,int sum,int limit)
{
    //num是选择数量 sum是和 limit是应该选择数量
    if(num==limit){
        if(sum==goal) ans++;
        return ;
    }
    for(int i=a+1;i<=n;++i)
        if(sum+i<=goal)
        dfs(i,num+1,sum+i,limit);
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    if(n==1||n==2) cout<<0<<endl;
    else if(n==3) cout<<1<<endl;
    else{
        ans=0;
        goal=n*(n+1)/4;
        for(int i=2;i<n-1;++i)//选i个
            {
                dfs(0,0,0,i);
                //cout<<i<<' '<<ans<<endl;
            }

        cout<<ans/2<<endl;
    }
    return 0;
}

考虑DP

看成一个 0,1 背包,背包容量看成是sum/2,最后求得是正好装满背包的方案数

核心代码

 dp[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=n;++i){//前i个中去选
            for(int j=goal;j>=i;--j){
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-i];
            }
            for(int j=i-1;j>=0;--j){
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
            }
        }

注意最后输出要除2(每个方案两个子集)

cout<<dp[n][goal]/2<<endl;


代码示例

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int maxn=500;

int n,goal;

ll dp[maxn][maxn];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n;
    if((n*(n+1)/2)%2) cout<<0<<endl;
    else{
        goal=n*(n+1)/4;


        /*
        for(int i=1;i<=n;++i){//前i个
            for(int j=goal;j>=i;--j){
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-i];
            }

            for(int j=i-1;j>=0;--j){
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
            }
        }
        */

        dp[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=n;++i){//前i个中去选
            for(int j=goal;j>=i;--j){
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-i];
            }
            for(int j=i-1;j>=0;--j){
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
            }
        }

        cout<<dp[n][goal]/2<<endl;



    }
    return 0;
}




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