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数论概论读书笔记 32.佩尔方程

## 佩尔方程 $Pell$方程是指具有形式$x^2-Dy^2=1$的方程,其中$D$是一个固定的正整数且**不是完全平方数** 假设可求得$Pell$方程的一个解$x_1,y_1$,则可以利用上一章中对$D=2$所描述的同样方法来产生一个新的解。将已知解因式分解为 $$ 1=x_1^2-Dy_1^2=(x_1+y_1\sqrt{D})(x_1-y_1\sqrt{D}) $$ 两边同...

数论概论读书笔记 31.再论三角平方数

## 再论三角平方数 **定理 (三角平方数定理)** - 方程$x^2-2y^2=1$的**每个**正整数解都可通过将$3+2\sqrt{2}$自乘得到,即解$(x_k,y_k)$可以通过展开下式得到。 $$ x_k+y_k\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})^k,\quad k=1,2,3,... $$ - 每个三角平方数$n^2=\frac{1}{2}m(m+1)...

数论概论读书笔记 30.方程x^4+y^4=z^4

## 方程$x^4+y^4=z^4$ 指数为4的费马大定理 主要用费马降价法来证明,具体看书

数论概论读书笔记 29.原根与指标(指标也被称为离散对数(#^.^#))

## 原根与指标(指标也被称为离散对数(#^.^#)) 原根我们清楚了。 啥是指标呢? 对于模13,2是它的原根,则$2^x\ mod \ 13$会取遍$[1,12]$,$x∈[1,12]$ 比如$2^4=16\equiv 3 \ mod(\ 13)$ 则$I(3)=4$ 这就是指标函数$I$ 显然,指标函数是双射函数 **指标法则** 指标满足下述法则: - $I(...

数论概论读书笔记 28.幂模p与原根

## 幂模p与原根 如果$a$和$p$互素,费马小定理告诉我们,$a^{p-1}\equiv 1\ (mod \ p)$ 辣么这个指数$p-1$是唯一的使得结果为1的嘛 我们选一些$a$和$p$看一下 对于$a=3,p=7$ :指数只有为6时才取到1。 ![img](https://s1.ax2x.com/2018/08/15/55wbc2.png) 模p余1的a的最小次幂: ...

数论概论读书笔记 27.欧拉函数与因数和

## 欧拉函数与因数和 前面我们在说明完全数的时候,引入了因子和函数$\sigma(x)$ ,通常$\sigma(x)$是大于$x$的。 现在我们做个猜想,不对因子直接求和,而先求欧拉函数再求和。 **猜想** 设$d_1,d_2,...,d_r$是整除$n$的数,其中包括1与n,则 $$ \varphi(d_1)+\varphi(d_2)+\varphi(d_3)+...+\va...

数论概论读书笔记 26.像1,2,3一样简单

## 像1,2,3一样简单 这一节主要学习数学归纳法,一些方法论 具体可以看书

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